碎形之父 Benoit Mandelbrot 曼德博

碎形與粗糙度的藝術

 

Benoit Mandelbrot 碎形與粗糙度的藝術
● 講話內容:  
【0:11】     謝謝 請原諒我坐著說話,我老了 (笑聲) 嗯,我今天要談論的主題 是一個在某種程度上非常特殊的主題 因為它非常古老 粗糙度,自古以來 就是人類生命的一部份 古老的作家曾寫過它 它是非常難以掌握的概念 而且,在某種意義上說來, 它看起來極度複雜, 亂無章法, 有著許多不同種類的混亂。 現在,事實上 我幸運地 在許多年前參與了一項 關於這種複雜圖形的研究 我驚異地發現 一些蛛絲馬跡—— 我必須說——有非常顯著的蛛絲馬跡顯示, 粗糙度具有次序 因此今天,我要向各位呈現 一些關於這項研究 的例子。 比起不規則度(irregularity) 我更喜歡用粗糙度(roughness)這個詞 因為,不規則度(irregularity) 對學過拉丁文的人來說 (也就是在我遙遠的青少年時) 是規律(regularity)的反義詞, 然而,在真實世界裏, 粗糙度才是規律的反義詞。 因為世界的基本外觀 是極度粗糙、崎嶇的。 
【1:30】     我給各位看看一些物體 有些是人工的 有些,在某種程度上,是非常真實的 而現在這一個是真的。這是一朵花椰菜 爲什麽我要展示花椰菜? 爲什麽要展示這麼一個普通、古老的蔬菜呢? 因為古老的事物,恰如其分地, 非常複雜、 同時也非常簡單。 如果你試著掂掂它的重量,當然,我們很容易可以量出來 當你要吃它時,重量是個問題 但是,假如你試著 測量它的表面 這就非常有意思了 如果你用一把鋒利的刀子 切下花椰菜中一個小花 分開來看它, 你會想,這是一整個花椰菜,只是小了些, 接著,你再切一刀, 一而再,再而三地反復切它, 最後,你仍會得到一朵朵小花椰菜。 所以人類的經驗 總是存在著一些 擁有特殊屬性的形狀, 每個部分就如同它的整體, 只是稍微小了一些。 那麼此刻,人類對它做了些什麽研究? 非常、非常少 (笑聲) 
【2:46】     所以實際上我所做的是 研究這個問題 找出某些令人詫異的東西 找出可以衡量粗糙度的東西 透過數字,一個數目 2.3、1.2,有時更多。 有一天,我的朋友 試著激怒我, 他帶一張照片給我,說: 「這個曲線的粗糙度為何?」 我回答:「嗯,不到1.5」 那粗糙度只有 1.48 不須花多少時間 這些東西我已經已經看了許久, 這些數目是 用來表示表面的粗糙度 我必須事先聲明,這些表面外觀是 完全人工的 它們由電腦做成 唯一要輸入,就是一個數字 那數字就是粗糙度 在那左邊 我複製許多景觀的表面粗糙度 在右邊,我取較高的粗糙度 所以,眼睛過了一會 便可以容易地區分兩者了 
【3:50 】    人類必須學習如何衡量粗糙度 這非常粗糙、這有點平滑、而這又極度平滑 很少有東西是極度平滑的 因此,假使你試著提出一個問題: 花椰菜的表面積有多少? 嗯,你會一量再量 每一次你靠近它,它就變得更大 可無限遞迴到很小的距離 這些湖的沿岸 有多長? 當你越是測量它,它就越長 沿岸線的概念 看起來是如此自然 因為,它在許多情況下被給定了 但事實上,這完全謬誤。根本沒有這回事。 你必須採取不同的做法 
【4:31】     要理解這些,該採取什麽樣的辦法呢? 令人驚訝的是, 我們可以透過各種途徑 首先,我發明的 這些人造景觀 都是用在電影上 我們看到遠處的山 也許真的是山,但也有可能是公式計算來的, 現在要做這個是很容易了 以往,製作這些必須曠日費時,但現在根本沒什麼 現在,看那,那是一個真正的肺臟 肺是一種非常古怪的東西 如果你測量它 你知道它的重量極小 肺的體積很小 但肺的面積又如何呢? 針對這個問題,以前解剖學家常有激烈的爭論 有些人說,普通男子的肺 面積有 一個籃球場大 另外有些人認為,不,它有五個籃球場大 大家所持的意見相當不同 爲什麽呢?因為事實上,肺的面積 從沒有明確的定義。 支氣管不斷分出分支 而在其末梢停止了分支 並不是和什麽原則有關 而是由於肺臟裡頭的物理因素 因為肺裏的粘液所致。 在某種情況之下 你會有較大的肺。 但假使它不斷地分支出來, 在很微觀的情形下, 鯨魚、人和齧齒目動物會有相等面積的肺。 
【5:58】     這有什麼好處嗎? 嗯,令人訝異地 直到近日以來,解剖學家都不太理解 肺臟的構造, 我想我的數學 令人驚訝地 可以帶來許多幫助 給外科醫生 幫助他們研究肺臟 和腎臟 這些分叉管的系統的疾病 因爲在這些系統中沒有幾何學。 所以,換句話說,我發現我自己, 正在建立一種幾何學 一種沒有幾何圖形的東西的的幾何學 而且,令人訝異的是 這個幾何學的規則 經常是極短的, 你有這麼長的公式, 曲折了好幾次 有時候就只是一味地重復 再重複,循著同樣方式反複循環 最後,你會得到像這樣的東西 
【6:50】     這片雲是100% 完全人工的 嗯,99.9。 唯一自然的地方 是數字,也就是這片雲的粗糙度, 是取自自然的 有時,像雲這麼複雜的東西, 是這麼不穩定、變化多端 在它背後,應該有一個簡單的規則才是 現在,這個簡單規則 並不是解釋雲層 看這片雲的人必須 有這個認知。 我不認為這些照片有多先進, 它們很舊了 我以前涉獵極深, 但後來,我轉而研究其他現象了 
【7:30】     現在,這裡有另一個 更有趣的東西 這是在數學史上一件 令人震驚的事件, 當時沒多少人理解, 發生在大約 130 年前、 或 145 年前。 當時,數學家開始創造 不存在的形狀 數學家陷入一種自我耽溺的地步 他們完全沉浸於 人類發明的喜悅之中 而這些發明是自然所不知曉的事物 特別是,發明一種 可以填補平面的曲線 曲線是曲線,平面是平面, 兩者無法混合 但事實上,他們是可以混在一起的 有一個叫 Peano 的先生 真的確立了這些曲線, 於是,這形成一個當時多數人極感興趣的研究對象 它在當時非常重要,但也相當有趣 因為,一種突破 必須是一種區隔, 它區隔來自描述現實現象的數學 與來自人類純粹心智的新數學 嗯,我必須很遺憾地指出 純粹的人類心智 事實上 最終見到了 他們長久以來視而不見的事物 所以,在這裡,我要向大家介紹 一組河流的平面填充曲線 而且 它本身就是一個故事。 1875 年到 1925 年 是一段了不起的時期 在這段期間,數學正準備突破自己的世界, 當我還是個小孩、學生的時候 當時作為範例的 物體 區分了數學與 可見的現實—— 我把那些物體 完全顛倒過來 我把它們用來描述 自然的若干繁複面向 
【9:18】     1919 年,有一位叫做 Hausdorff 的先生 引介了一個數字,這個數字在當時被看作數學玩笑 但我發現這個數值 卻是衡量粗糙度的好工具 當我第一次把這個發現告訴我數學界的朋友時, 他們說:「別傻了,那只不過是件無聊蠢事。」 然而事實上,我當時並不傻, 偉大的畫家葛飾北齋(Hokusai)深知這個道理 這些涉及複數的問題 他不懂數學,那時數學尚未存在 他是個日本人,從未接觸過西方世界 但長久以來,他的畫作擁有碎形面 我可以花很多時間談論這個 艾菲爾鐵塔有個碎形的外觀 我在書上讀到,埃菲爾先生寫過他的鐵塔 確實,令人驚訝地,他非常瞭解碎型 
【10:01】     這是一個混亂、混亂、混亂的布朗寧迴圈 有一天,在我職業生涯的半途 我發現 我的工作被許多事情絆住 我決定測試自己 看我是否可以 從每個人看了許久的事物中 發現什麽戲劇化的新東西? 嗯,於是我看到了這些 叫布朗寧運動的東西,只有一圈 我和它玩了一會, 我使它回到原點 接著,我告訴我的助理: 「我看不到任何東西。你能把它畫出來嗎?」 於是他畫了出來,這意謂著 他把所有都放了進去。他說: 「這東西出現了......」我說:「停下來! 停下來! 停下來! 我明白了,這是一座島嶼。」 多麼驚人 因此,布朗寧運動剛好有 一個粗糙度數字2,它繞了一圈 我測量它,是1.33 一而再,再而三 長尺寸,大的布朗寧運動, 1.33 一個數學問題來了:該如何證明它? 我的朋友曾花 20 年的時間研究 他們三個人產出一個不完全的證明 他們聚在一起,一起證明它 因此,他們獲得了這個領域的大獎 這些獲獎人當中,有一面獎牌 並不能合理地證明 我所見到的東西 
【11:26】     現在,每個人都問我 「這是怎麼開始的? 是什麼原因使你進入這個陌生的領域?」 是什麼讓我 同時成為一個機械工程師、 又成為地理學家、 數學家、或物理學家等等? 嗯,事實上,我是從一個非常怪異的地方開始的 我研究股票市場價格 在這 我提過理論 我也寫了有關這方面的書籍 金融價格增長量 在左邊,你們看到長期的數據 在右邊,上方 你們可以看到一個非常、非常流行的理論 它非常簡單,你可以用極短的時間寫下許多關於它的書籍 (笑聲) 坊間有上千本這方面的著作 現在,比較真實的價格增加量, 哪裡是實際的價格增加量呢? 嗯,其他這些曲線 包涵了一些真正的價格利潤 還有一些是我偽造的 所以,這裡的觀點是 人們必須能夠 --怎麼說呢? -- 把價格變化模組化 在五十年前,這觀點被認為相當有道理 五十年來,人們多少有點輕視我的看法 因為他們可以用非常簡單的方式換算出來 但我告訴你,在這一點上,人們聽信我 (笑聲) 這兩條曲線是平均值 藍色的那條是標準普爾(Standard & Poor)的曲線, 而紅色的那條是標準普爾 根據其中 5 個最大的不連續性 所畫出來的曲線 現在,不連續造成了累贅 所以,在許多關於價格的研究上 人們把它們擱在一旁,說: 「嗯,這些是神的旨意(不可抗力的因素) 於是留下了少許無意義的東西, 在這幅包涵不可抗力因素的照片中 五個不可抗力的現象就如同所有其他事物一樣重要 換句話說, 事實上,我們不應擱置那不可抗拒的現象不談 那才是牛肉,是問題所在 如果你熟悉價格和這些癥結 而且,如果你不熟悉這些癥結,你也可以試著 盡可能地了解小問題 但它不重要 嗯,這裡有關於它的曲線 
【13:29】     我來到最後這個 附有我名字的這組 在某種程度上,它是我一生的故事 我青少年是在 德軍佔領法國的期間度過的 我曾想,也許我可能會 在一天或一個星期內憑空消失 所以,我有一些大夢想 戰後 我和我叔叔相遇 我叔叔是個非常重要的數學家,他告訴我 「看,這裡有一個我二十五年來 都無法解決的問題, 沒有人可以解答 這是一個叫 [Gaston] Julia 和 [Pierre] Fatou 共同建構的問題 如果你可以, 發掘新的解決辦法,任何解決辦法, 你的事業必定有所成就。」 非常簡單 於是,我試試看 就像許許多多前人試過的一樣 我什麽也沒找到 
【14:19】     然而接著,電腦出現了 我決定使用電腦 不是用在數學的新問題—— 比如這條擺動的曲線,這是新問題—— 而是,把電腦應用於舊的問題之上 我從那稱為實數(real number) 的地方開始,這是一條線上的點 到虛數、複數 這些是平面的數 也是人們必須去研究的事 於是,這個圖形出現了 形狀極其複雜 該方程式隱藏在那裡 z 進入z 平方,加上 c 它是如此簡單、如此枯燥、 如此無趣 現在,你轉動曲軸兩次 兩次 奇蹟就出現了。 我指的是,出現了這個 我不想解釋這些東西 出現了這個,出現了這個 出現了如此這般複雜的形狀 它們具有如此的和諧與美感 出現了這個 它們一而再,再而三地重複著 這就是過去我最主要的發現之一 我發現這些島嶼是相同的 或多或少,就如同它較大的整體 於是,你在所有地方得到這些 非凡的巴洛克式裝飾 它們全都來自這個小小的方程式 這方程式有五種符號 接著是這個 加上兩種顏色的原因是 首先,因為這些圖形 是如此複雜 以致於人們無法辨識任何數目 如果你要繪製它們,你必須選擇某些系統 所以,我的原則是 永遠以不同的顏色 呈現這些圖形 因為某些顏色強調某些部份 而其他的強調這,或強調那 實在真的很複雜 
【16:02】   (笑聲) 
【16:04】     1990 年,我在英國劍橋 獲得大學一個獎項 三天後 有位駕駛飛越田野上空,發現了這東西 這是來自哪裡呢? 很顯然,這來自外星人 (笑聲) 嗯,所以劍橋的報紙 登載了關於那「發現」的文章 隔天後,他們收到了 5000 封信,人們在信上說: 「這只不過是一個非常大的 Mandelbrot 圖組罷了。」
【16:33】     嗯,讓我這麼結束吧 這兒的圖形,只是來自 純數學的演算 深不可測的奇觀,源自簡單的規則 它們無止無盡地反復 
【16:45】     謝謝大家 
【16:47】 (掌聲)

 

A myriad of details in an evolving fractal landscape
2014年時的雨傘運動佔領行動,或有人感覺處於混沌的狀況, Fractals Art 可作為顯示這種形態的藝術。 以上的 (Surface detail) 影像由大小、重複、轉變、規律圖案所組成, 並配上虛幻的音樂,使人擴闊自己思想的虛擬空間!